应用泛函分析笔记（持续更新）
本文档是2023年暑假自学北京航空航天大学在学堂在线上的慕课《应用泛函分析》的课程笔记，慕课网址如下。
应用泛函分析 - 北京航空航天大学 - 学堂在线 (xuetangx.com)
Ch1 实变理论基础
1.1 集合与点集
开集：所有点都是内点；闭集：开集的补集。
$[0,1]$上的所有有理数既非开集也非闭集，所有无理数既非开集也非闭集。
$\mathbb{R}$上的有界开集可以表示为至多可列个开区间的并，这些开区间称为开集的构成区间。
Cantor三分集K是有界闭集，Cantor三分集是不可列集。
1.2 Lebesgue测度
设$M$为$\mathbb{R}$上的子集族，对$E\in M$，定义映射$m(E)$为Lebesgue测度，满足如下的性质
- 非负性。
- 可列可加性：对可列个不相交集合的并可加。
- 正则性：$m([0,1]) = 1$。
有界开集的Lebesgue测度
有界开集
\[E = \cup_{i = 0}^\infty (\alpha_i, \beta_i)\]则其Lebesgue测度
\[m(E) = \sum_{i = 0}^\infty (\beta_i - \alpha_i)\]性质：
- 单调性：对集合的包含关系单调。
- 次可加性：$m(A\cup B) \leq m(A) + m(B)$。
- 可列可加性
有界闭集的Lebesgue测度
利用有界开集的Lebesgue测度定义。
设有界闭集$F$包含于区间$(a,b)$，定义
\[m(F) = b-a - m((a,b) - F)\]有界闭集的Lebesgue测度和$a,b$的选取无关。
Cantor三分集的测度为0。
有界闭集的测度也具有单调性、次可加性和可列可加性。
有界集合的Lebesgue测度
有界集合$E$的外测度
\[m^*(E) = \inf\{m(F) | F为开集, E\subset F\}\]内测度
\[m_*(E) = \sup\{m(G) | F为闭集, G\subset E\}\]显然
\[m_*(E)\leq m^*(E)\]当
\[m_*(E) = m^*(E)\]时称 $E$ 可测。
有界可测集的并、交、差都是可测集。
有界可测集的测度也具有单调性、次可加性和可列可加性。
但是外测度只有可列次可加性，即\(m(E)\leq \sum_{i = 1}^\infty m(E_i)\)。
从开集、并集出发，经过交、并、可列交、可列并形成的集合为Borel集，Borel集构成的集合为Borel集类$B$。
所有的Lebesgue可测集构成Lebesgue可测集类$L$。
可以证明$B\subset L$。
无界集合的Lebesgue测度
1.3 可测函数
对于可测集$E$上的函数$f$，对值域中的任意$a$，都有
\[E(f > a) = \{x\in E | f(x) > a\}\]可测。
对可测函数$f$，$E(f\geq a), E(f < a), E(f\leq a), E(f = a), E(a\leq f < b)$均可测。以第一个条件为例，注意到
\[E(f\geq a) = \cap_{n = 1}^\infty E(f > a - \frac 1n)\]因此$E(f\geq a)$是可测集。其他的情况类似。
前三个条件还是可测函数的充要条件。以第一个条件为例，注意到
\[E(f > a) = \cup_{n = 1}^\infty E(f\geq a + \frac 1 n)\]因此$E(f > a)$是可测集。其他的情况类似。
对有界实值函数$f$，第五个条件也是可测函数的充要条件。注意到
\[E(f\geq a) = \cup_{n = 1}^\infty E(a\leq f < a + n)\]因此$E(f\geq a)$是可测集。
可测函数的例子
- 定义在零测度集上的函数是可测函数。
理由：\(0\leq m^*(E(f > a))\leq m^*(E) = 0\)，因此$E(f > a)$可测，且$m(E(f > a)) = 0$。
- 定义在可测集上的连续函数是可测函数。
- 简单函数是可测函数。因此Dirichelet函数是可测函数
若$E_1,E_2$是可测集，$E = E_1\cup E_2$，$f$在$E$上可测等价于在$E_1$和$E_2$上均可测。
一个推论是函数的可测性与零测度集上的函数值无关，因为零测度集上的函数天然可测。
若$m(E(f\neq g)) = 0$，则称$f$和$g$几乎处处相等。记为$f = g,a.e.$
可测函数四则运算后仍是可测函数。
函数列的四种收敛
一致收敛 > 处处收敛 > 几乎处处收敛 > 依测度收敛
Ch2 空间理论
泛函分析本质上就是处理无限维线性空间
2.1 线性空间
这部分的概念线性代数都学过，因此简单过一下。
满足线性空间的8条性质。实的还是复的跟选取的数域有关系。常见的线性空间有
$[a,b]$上的连续函数$C[a,b]$，如$[0, \pi]$上的二阶连续可导函数$C^2[0, \pi]$
$[a, b]$上的有界变差函数$BV[a, b]$。对于$[a, b]$的一种分割$p : a = t_0 < t_1 < \cdots < t_n < t_{n+1} = b$，变差为
全变差为
\[V(f) = \sup_p V(f; p)\]若$V(f) < +\infty$，则为有界变差函数。连续函数不一定是有界变差函数。考虑$f(x) = x\sin(1/x), x\in[0,\pi]$，显然不是有界变差函数，但是是连续函数。
子空间：对原空间的数乘和加法封闭。$R^n$不是$C^n$的线性子空间，因为对复数数乘不封闭。
极大线性子空间：$M$是$X$的线性子空间，若对任意线性子空间$M_1 \supset M$，都有$M_1 = X$，则$M$为极大线性子空间。
线性流形：线性子空间的平移
极大线性流形 = 超平面
span(S)是所有包含S的线性子空间的交，是包含S的最小的线性子空间。
2.2 距离空间
非负性、对称性、三角不等式
距离空间$(X,d)$中的收敛：若$d(x_n, x_0)\rightarrow 0$，则称$x_n\rightarrow x_0$。
有了极限，就可以定义开集、闭集，连续。
距离线性空间：加法和数乘是连续的距离空间。
在证明距离线性空间的时候，常用Holder不等式和Minkowski不等式
Holder不等式：对\(p, q > 0, \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1\)和两列复数列\(\{x_i\}_{i = 1}^n, \{y_i\}_{i = 1}^n\)，有
\[\sum_{i = 1}^n |x_iy_i| \leq (\sum_{i = 1}^n |x_i|^p)^{\frac{1}{p}}(\sum_{i = 1}^n |y_i|^q)^{\frac{1}{q}}\]Cauchy-Schwarz不等式是其特殊情况($p = q = 2$)。
Minkowski不等式：对$p > 0$和两列复数列\(\{x_i\}_{i = 1}^n,\{y_i\}_{i = 1}^n\)，有
\[(\sum_{i = 1}^n |x_i + y_i|^p)^{\frac{1}{p}} \leq (\sum_{i = 1}^n |x_i|^p)^{\frac{1}{p}} + (\sum_{i = 1}^n |y_i|^p)^{\frac{1}{p}}\]本文总阅读量次