以倒立摆为背景命制的高中物理题
心血来潮以倒立摆为背景命制了一道高中物理题，已经尽力回避了超纲的微积分和线性代数的内容，包括常系数线性微分方程的求法、矩阵特征值的求法、拉普拉斯变换等等。但是阻尼运动的知识仍然无法回避掉，或许这道题可以作为一道竞赛题。
题目内容：倒立摆的分析与控制
高中阶段我们详细研究了单摆在小角度近似下的运动行为，并推导出了单摆的振动周期。这道题目我们研究一个与单摆很类似的系统：倒立摆。倒立摆有一个质量为$m$的质点和一个长度为$l$的轻杆构成，但是质点在转轴的上方。转轴固定在一个质量为$M$的小车上。忽略一切摩擦。
本题我们只研究小车固定的情况，此时倒立摆如同一个翻转了180度的单摆。
仿照课上学过的单摆的运动方程的推导思路，设轻杆和竖直方向的夹角为$\theta$，推导在小角度近似下$\theta$应当满足的微分方程。
答案：
\[\ddot{\theta} - \frac{g}{l}\theta = 0\]这是一个二阶常系数线性微分方程。但是由于高中没有学过微分方程求解，我们需要猜解的形式。我们知道，指数函数求导还是自身，因此我们猜测方程的解具有$\theta(t) = Ae^{ct}$的形式。给定初始条件$\theta(0) = \theta_0, \dot{\theta}(0) = \dot{\theta_0}$，试给出问题的解。
答案：
\[\theta(t) = \frac{1}{2}(\theta_0 + \sqrt{\frac{l}{g}}\dot{\theta_0})e^{\sqrt{\frac{g}{l}}t} + \frac{1}{2}(\theta_0 -\sqrt{\frac{l}{g}}\dot{\theta_0})e^{-\sqrt{\frac{g}{l}}t}\]由于运动方程含有指数函数，所以在某些初始条件下倒立摆的运动是不稳定的。这也与我们的常识相符。因此我们需要外加力矩使得倒立摆稳定。设施加的外力矩为$J$，与$\theta$同向为正，重新给出小角度近似下$\theta$应当满足的微分方程。并给出新的平衡位置
答案：
\[\ddot{\theta} - \frac{g}{l}\theta = \frac{J}{ml^2 }\] \[\theta_0 = -\frac{J}{mgl}\]从上一问可以看出，如果施加常外力矩，会改变系统的平衡点。因此我们需要施加变外力矩。一种方法是比例反馈：假设我们有手段检测到倒立摆的摆角，然后让外力矩与摆角成正比，即$J = -K_p\theta$。物理上可以通过一个弹性扭矩实现。试问，若使系统在任意初始条件下都能稳定，$K_p$的取值范围为何？
答案：
\[K_p > mgl\]在上一问基础上，我们对反馈的性能提出一定的要求。若要使倒立摆振动角频率大于$\omega_0$，对$K_p$的限制条件为何？
答案：
\[K_p > mgl + ml^2 \omega_0^2\]除了比例控制，我们也可以采用比例-微分控制：假设我们能同时测量出摆角和角速度，然后让外力矩为摆角和角速度的线性组合：$J = -(K_p \theta + K_d\dot{\theta})$。如果我们要求倒立摆不经过震荡就回到平衡点（也就是过阻尼振动），试求$K_p$和$K_d$的限制条件。
答案： \(K_p > mgl\)
\[K_d^2 > 4ml^2(K_p - mgl)\]在上一问基础上，假设$K_d^2 » 4ml^2(K_p - mgl)$，如果要求指数衰减的时间常数小于$\tau$，试求$K_p$和$K_d$的限制条件。
答案：
\[K_p > mgl\] \[K_d^2 > 4ml^2(K_p - mgl)\] \[K_d < \tau(K_p - mgl)\]必要条件是
\[K_d > \frac{4ml^2}{\tau}\]
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